Журнал "Вокруг света" - один из моих любимых, еще с детских лет. Родители выписывали его всегда. Очень хорошо, что вот уже долгое время я покупаю и читаю его, радует, что и дочь приохотилась его читать. В последнем, апрельском, номере опубликован отрывок под названием "Одушевленная математика" из книги Маши Гессен о Григории Перельмане, выходящей в русском переводе (книжка написана по-английски) этой весной. С удивлением я обнаружил, что главным героем этого отрывка оказался Андрей Николаевич Колмогоров!

Чем больше я вчитывался в текст, тем сильнее мне становилась ясна тенденциозность и ангажированность автора, пошедшего по проторенной дорожке обвинений "совка" в непонимании гения, в создании невыносимых трудностей в его жизни и работе, травле и даже в возможном физическом на него воздействии. Походя автор не просто "бросает тень", а прямо винит некоторых коллег (Понтрягин Л.С.) Колмогорова в организации политической травли гения, приписывая коллегам слова, обрамленные кавычками - цитируя их, то есть.

Из статьи следует, что Колмогорову не доверяли, притесняли, в атомный проект его не пустили - из-за гомосексуальности, с 29 года и до конца жизни он "делил кров" с топологом имярек - не делая секрета, все об этом знали, при том, что с 1934 была уголовная статья за эти "увлечения".

В 1941 году ему была присвоена Сталинская премия 1 степени, а в 1942 году он женился, брак продолжался 45 лет - об этом в статье ни слова.
В 1952 году еще премия - академическая, 1962 год - премия Бальцана, 1963 - Герой Соцтруда, 1965 - Ленинская премия.

С 1963 года (он смог произвести впечатление на Брежнева, "поскольку единственной ценностью, которую государство видело в математике и физике, было их военное применение") Колмогоров фактически руководил реформой преподавания математики в школе, смог организовать математические школы для одаренных детей, в которых работали учителями преподаватели ВУЗов - "Эти школы воспитывали свободномыслящих снобов". В одной из них в диссидентский период своей жизни преподавал историю, обществоведение и литературу Юлий Ким - этот факт подается автором отрывка как прямое противостояние свободомыслящего академика и КГБ.
А насчет "военного применения" - факт того, что в середине 20 века математика и физика стали интересны всем государствам мира только из-за их военного применения, никем и не оспаривается.

Работа Колмогорова в сфере среднего образования закончилась в 1978 году - по мнению автора, "идеологический конфликт, который сделал невозможным реформы Колмогорова, был очевиден".

А вот мнение академика Понтрягина, который и подверг, как следует из статьи, идеологическому разносу Колмогорова на общем собрании Отделения математики Академии наук: "Руководство Отделением математики АН СССР рекомендовало для работы по модернизации академика А. Н. Колмогорова, который играл в модернизации руководящую роль. Поэтому ответственность за трагические события в средней школе в значительной степени лежит на нём.

Математические взгляды А. Н. Колмогорова, его профессиональные навыки и человеческий характер неблагоприятным образом отразились на преподавании. Ущерб, причинённый развалом преподавания математики в советской средней школе, может быть сравнен по своему значению с тем ущербом, который мог бы быть причинён огромной общегосударственной диверсией....
Внедрение теоретико-множественной идеологии в школьную математику, несомненно, соответствовало вкусам А. Н. Колмогорова. Но само это внедрение, я думаю, уже не находилось под его контролем. Оно было перепоручено другим лицам, малоквалифицированным и недобросовестным. Здесь сказалась черта характера Колмогорова. С охотой принимаясь за новое дело, Колмогоров очень быстро охладевал к нему и перепоручал его другим лицам.

При написании новых учебников, по-видимому, произошло именно это. Составленные в описанном стиле учебники печатались миллионными тиражами и направлялись в школы без всякой проверки Отделением математики АН СССР. Эту работу осуществляли под руководством Колмогорова методисты Министерства просвещения СССР и Академии педагогических наук. Жалобы школьников и учителей безжалостно отвергались бюрократическим аппаратом министерства и Академии педагогических наук. Старые опытные учителя в значительной степени были разогнаны.

Этот разгром среднего математического образования продолжался более 15 лет, прежде чем он был замечен в конце 1977 года руководящими математиками Отделения математики АН СССР. Ответственность за происшедшее лежит, конечно, не только на одном А. Н. Колмогорове, Министерствах и Академии педагогических наук, но также и на Отделении математики, которое, поручив Колмогорову ответственную работу, совсем не интересовалось тем, как она осуществляется. ... Рассматривались конкретные дефекты учебников, и подавляющему большинству присутствующих было совершенно ясно, что так оставаться дальше не может.

Решительными противниками каких бы то ни было действий, направленных на исправление положения, были академики С. Л. Соболев и Л. В. Канторович, которые говорили, что надо подождать. Но, несмотря на их сопротивление, было принято решение, требующее вмешательства в вопросы преподавания в средней школе."

Главной претензией академиков-математиков была не идеология. По мнению Понтрягина, основной вред от внедрения в программу средней школы множественных теорий Колмогорова заключался в том, что "основное содержание математики, т.е. умение производить алгебраические вычисления и владение геометрическим чертежом и геометрическим представлением, отодвигалось на задний план. И даже вовсе уходило из поля зрения учителей и школьников."

Личное впечатление - я помню школьные учебники по алгебре и геометрии 70-х годов, на первом листе была надпись, пояснявшая, что учебник разработан по его программе. Алгебру и геометрию у меня в школе вели две учительницы: одна - по Колмогорову, другая (в 9-10 классах) - дополняя конгруэнтности и множества доколмогоровскими методиками и представлениями. Я не специалист в топологии и в математических теориях, однако помню, что доколмогоровские объяснения были значительно более вменяемыми и приближенными к реальным задачам. Это подтвердилось и в училище - мне реально хватало школьного и училищного курсов без колмогоровских новаций. Но в том же училище было много всяких вероятностных штучек - в приложении к тактике, к применению оружия, к оценке точности навигационных измерений, - все преподаватели с придыханием и сверхпочтительно говорили о Колмогорове.

В качестве иллюстрации Понтрягин приводит такой пример: в учебниках Колмогорова дается "следующее определение вектора: вектором называется преобразование пространства, при котором... далее перечисляются свойства, означающие, что это преобразование есть трансляция пространства. Естественное и нужное для всех определение вектора как направленного отрезка было отодвинуто на задний план." Суть претензии ясна и понятна любому человеку с техническим образованием - где здесь идеология, которую так настойчиво прописывает Маша Гессен?

"Весной 1979 года входивший в свой подъезд Колмогоров получил удар сзади в голову - якобы бронзовой ручкой,- отчего даже ненадолго потерял сознание. Ему показалось, однако, что кто-то шел за ним следом," - автором делается вывод о покушении, тем более, что по словам автора, "пресса заклеймила Колмогорова как "агента западного культурного влияния, которым он фактически и был."

"Якобы... кто-то шел за ним следом" - ну, бред собачий! Сахаров в эти годы договорился до теории конвергенции - никто его не бил по голове, Солженицын, прямо ломавший в своем "Архипелаге" основы советского строя, Шафаревич, печатавший самиздатским способом свои безусловные антисоветские прозрения - их-то, врагов явных, почему ж не били?!

Грустное впечатление оставляет этот отрывок - Маша Гессен не просто находится в плену идеологических установок, она сама эти установки создает, делая из благополучного советского академика, уже с 1921 года абсолютно заслуженно не испытывавшего никаких материальных трудностей (он сам об этом пишет в воспоминаниях) оппозиционера, чуть ли не открытого противника Советской власти, разваливавшего её изнутри с помощью создания математических школ и реформы преподавания математики в средних школах, что, видимо, должно было привести к массовому появлению западно-ориентированной элиты из "свободномыслящих снобов".

Автор, кстати, училась в московской математической школе "(и окончила бы, если бы моя семья не эмигрировала в США), учителя предупредили, что ни одному из нас не удастся поступить на мехмат МГУ" - почему? Мой дядя, не будучи снобом и не заканчивая спецшколу, поступил на мехмат МГУ, он закончил обычную школу в Орехове-Зуеве с золотой медалью, и поступил.

В журнале дана справка о книгах, которые написала Маша:
- "Dead Again: The Russin Intelligentsia after Communism"
- "Two Babushkas: How My Grandmothers Survived Hitlers War and Stalins Peace".
Характерные названия.

Резюме - две досады. Первая - я так и не прочел о Перельмане, а ведь интересно! Вторая - жаль, что журнал "Вокруг света" начал усердствовать на ниве десталинизации, публикую такие эссе.

Но есть и плюсы - много нового узнал о Колмогорове (в-основном, не из обсуждаемой статьи - спасибо Википедии), но самое главное- о Льве Семеновиче Понтрягине, с детства слепом, достигшем горних вершин в математике, прожившем сложную жизнь, о которой он очень увлекательно рассказал в своем "Жизнеописании..." -

Андрей Колмогоров - один из самых известных отечественных математиков, чей вес в науке сопоставим с Эвклидом, Эйлером или Ньютоном. 25 апреля ученому исполнилось бы 111 лет. В честь этого события в рамках проекта «Герой дня» состоялась лекция, посвященная Колмогорову. Ее прочитал поэт, писатель и математик Владимир Губайловский. Как стать великим в 40 лет, чем теория вероятностей обязана пуговицам, что связывает математику и поэзию - T&P публикуют конспект лекции.

План на 40 лет

Когда Колмогорову исполнилось 40, а это было в 1943 году, он составил себе «конкретный план того, как сделаться великим человеком». План он предварил такими словами: «Посвящается мне самому, к моему восьмидесятилетию, с пожеланием сохранить к этому времени достаточно смысла хотя бы для того, чтобы понимать писания себя самого, сорокалетнего, и судить их с сочувствием, но и со строгостью».

В плане Колмогорова особенно замечателен последний период: с 1974 по 1983 гг. он планировал понять, как человек думает, то есть написать историю форм человеческой мысли. Кроме того, в этот период Колмогоров планировал издать «Математические развлечения» и написать воспоминания о своей жизни. Ничего из этого он не сделал. Зато все остальные пункты плана были выполнены.

Нужно понимать, в каких условиях 40-летний Колмогоров писал этот план. В этот момент он находился на даче в Комаровке. Вокруг шла война. 1943 год - победа еще не очевидна. Он же сидел и планировал следующие 40 лет своей жизни, намереваясь стать «великим человеком». А ведь к этому моменту Колмогоров уже был ученым с мировым именем. В этом проявляется и невероятная самоуверенность Колмогорова (он считает, что легко может стать великим), но и его необыкновенная скромность тоже, ведь все великие открытия, которые Колмогоров к тому моменту уже сделал, он считает недостаточными для того, чтобы стать великим человеком.

Детство гения

Мама Колмогорова, Мария Яковлевна, окончила курсы для школьных учителей и специализировалась как раз на математике. То есть для начала XX века она была женщиной довольно эмансипированной. Но Колмогоров ее совсем не знал, так как она умерла при его рождении. Андрея воспитывала тетя - Вера Яковлевна Колмогорова. Отец в воспитании сына участия не принимал. С раннего детства Колмогоров занимался математикой. В возрасте примерно 6 лет он заметил, что если складывать нечетные числа, то получаются точные квадраты. Это было первым самостоятельным открытием Колмогорова.

У себя дома Вера Яковлевна устроила небольшую школу, в которой она занималась с детьми, жившими по соседству. Под ее руководством издавался детский рукописный журнал «Весенние ласточки». Маленький Колмогоров отвечал в нем за математическую секцию. Он сам придумывал математические задачки. Одна из них - про пуговицу. Задача такая: есть пуговица с четырьмя дырками, чтобы пришить ее, достаточно сделать один стежок. Сколько есть разных способов пришить пуговицу? Эта задача уже связана с теорией множеств, которой Колмогоров будет много заниматься впоследствии.

Учеба

Колмогоров математике ни у кого и никогда не учился. Учителя просто не успевали его учить. Он выучился математике сам по «Энциклопедическому словарю Брокгауза и Ефрона». В своем дневнике он вспоминал: «Я решал трудные задачи, а в теории ушел много дальше школьных программ. Высшую математику изучал по статьям в энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона, что не слишком легко, так как статьи эти имели не учебный характер, а, скорее, справочный». Когда Колмогоров поступил в Московский университет, он уже хорошо представлял себе университетский курс.

Первые годы в университете и мировая слава

В 1922 году Колмогоров поступил в университет. Он был настолько хорошо готов, что на сдачу экзаменов за первый курс ему понадобился всего месяц. Позднее он вспоминал: «Сдав в первые же месяцы экзамены за первый курс, я, как студент второго курса, получил право на 16 кг хлеба и 1 кг масла в месяц, что, по представлениям того времени, обозначало уже полное материальное благополучие. Одежда у меня была, а туфли на деревянной подошве я изготовил себе сам».

Мировая слава пришла к Колмогорову вскоре после его поступления в университет. В математике есть нормальные случаи, а есть - пограничные. Эти пограничные случаи очень важны, так как именно они помогают очертить границы понятий и область их применения. Пример суммируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду, и есть такой случай. Именно дав этот пример, Колмогоров заслужил свою первую славу. Сам Фурье был уверен, что такой функции существовать не может, а Колмогоров доказал обратное. Тем самым он ограничил множество функций, которые раскладываются точно в ряды Фурье.

Андрей Колмогоров и А.М. Яглом, Комаровка, 1947 год

Сергей Петрович Капица однажды сказал: когда деды учат внуков - это беда, когда отцы учат детей - уже лучше, но самое лучшее - это когда старшие братья учат младших. Именно в такой ситуации и оказался Колмогоров в университете. Его учителя, математики Урысон и Александров, были старше его всего на 5–6 лет, поэтому их общение имело чрезвычайно плодотворный характер.Учеба Колмогорова в университете проходила в процессе совместной работы с более опытными коллегами. Это было непрерывное общение, постоянный обмен идей - только в таком смысле и учился Колмогоров математике.

Теория вероятностей

Теория вероятностей - наука о случайном. Систему аксиоматического обоснования этой науки Колмогоров построил в 30-х годах. Во время Великой Отечественной войны он использовал свои знания для решения практических задач: Колмогоров дал определение оптимальной стратегии при стрельбе из артиллерийских орудий. При стрельбе по малым целям необходимо использовать искусственное рассеяние - специально отклоняться от места наиболее вероятного попадания, тогда шансы на попадание повышаются. Фактически при стрельбе одиночными снарядами мы имитируем стрельбу дробью.

Теория вероятностей занимается большими ансамблями случайных событий. Каждое событие непредсказуемо, но все вместе они описывают некоторое вполне детерминированное распределение событий. Если взять квадратную площадь, над которой идет сильный дождь, то квадрат будет равномерно мокрым. Вероятность того, что некоторая область в центре квадрата окажется абсолютно сухой стремится к нулю, однако ничего невозможного в этом нет.

Колмогоров определил вероятность как меру. То есть мы можем измерять вероятность площадью. Если считать событием попадание капли в прямоугольники A, B, C, D, то как определить вероятность этого события? Попадет ли каждая конкретная капля в один из прямоугольников, зависит только от площади этих прямоугольников. Оказалось, что такой «площадной» подход отлично работает. Например: вероятность того, что капля попадет в прямоугольник A равна 0,3×0,4= 0,12, вероятность того, что она попадет в прямоугольник D - 0,6×0,7 = 0,42 и т.д.

Для теории вероятностей Колмогоров предложил свою аксиоматику. Третья аксиома гласит: вероятность всех событий равна 1 (то есть наша капля точно попадет в один из выделенных прямоугольников). Фундамент колмогоровской аксиоматики закладывает четвертая аксиома: если пересечение множеств A и B равно пустому множеству, то вероятность A, объединенного с B, равна сумме вероятностей A и B.

Главная заслуга Колмогорова в том, что он «забыл», что такое вероятность. Он отказался от философского обоснования понятий случайности, детерминированности и т.д., но предложил аксиомы, на базе которых можно построить работающую математическую теорию. То, что она работает, Колмогоров доказал на практике своими работами по стрельбе.

Ученики Колмогорова

Многих поражало, с какой легкостью Колмогоров ориентировался в самых разных областях математики и как моментально умел переключаться с одного предмета на другой. Колмогоров видел математику как некоторое целое и был одним из последних ученых, которым такое видение было доступно. Колмогоров уделял огромное внимание работе со своими учениками. Он выступал как своеобразный сеятель идей, которые разрабатывали в деталях уже его аспиранты. Сам же Колмогоров шел дальше. У него было два состояния окончания занятий проблемой: он или писал статью, или отдавал проблему своему ученику. А его ученики уже были готовы к тому, чтобы понять, что думает их учитель, загореться от него и решить проблему. Таким образом Колмогоров создал одну из крупнейших математических школ мира.

Стихи и математика

Колмогорова с детства привлекала поэзия. Он говорил, что для того, чтобы полюбить Гете, ему надо посчитать все его размеры. Теория колмогоровской сложности во многом выросла как раз из увлечения стиховедением. В университете Колмогоров даже вел семинар по этой дисциплине. Он понял, что информация в стихах передается не только словами, но и самой конструкцией, строением текста.

Колмогоров за составлением речи в Таллине, 1973 год

Известно, что информации тем больше, чем ниже предсказуемость следующего знака. То есть самая большая информация заключается в абсолютно хаотической последовательности. Такая информация, конечно, не слишком интересует человека, так как она бессмысленна. Но если нам рассказывают историю, которую мы знаем наизусть, то есть предсказуемость каждого слова составляет 100%, то никакой информации она нам не несет. Значит, чем выше система повторов в тексте, тем меньше мы извлекаем из него информации. Но именно такая ситуация часто возникает при чтении поэзии. Причем даже когда мы не знаем стихотворение наизусть, какие-то его элементы мы можем угадывать благодаря рифме и ритму. То есть предсказуемость зарифмованного текста изначально повышена, он несет меньше информации, чем обыденная речь. И появляется вопрос: как собственно возникает в поэзии целый «мир чувств», если поэтический текст по своей природе высокопредсказуем и малоинформативен?

Теория сложности

Из интереса Колмогорова к поэзии выросла его теория сложности. Сложность объекта - это длина программы, которая его описывает. Теория сложности - одна из самых перспективных областей современной математики. Задача, которая стоит перед учеными, занимающимися этой теорией, состоит в частности в том, чтобы научиться отделять хаос от знания. Хаотические последовательности содержат максимально много информации, но не имеют смысла (человек их не понимает). Простые повторяющиеся последовательности (например, последовательность из одних нулей или из одних единиц) содержат мало информации - их смысл вырожден. Значит, существуют последовательности, которые содержат значительную информацию и имеют смысл, то есть человек может их понять. Это - область знания. Она очень мала по сравнению с областью хаоса, но именно она нам наиболее интересна. Если нам удастся эффективно отделять хаос от знания, это позволит нам сделать шаг к созданию искусственного интеллекта.

Школа Колмогорова

Где-то к середине 1960-х годов знаменитая колмогоровская идейная продуктивность начала падать. Он продолжает занимать руководящие должности, но собственно науки в его жизни становится все меньше. В последний период Колмогоров всю свою энергию направил на педагогическую деятельность. И в этом прослеживается та же самая логика преемственности, которая красной нитью проходит через всю жизнь Колмогорова. Раньше он отдавал свои идеи коллегам и аспирантам, а теперь увлеченно занимается созданием математического интерната и разрабатывает и проводит реформу школьного математического образования (Колмогоров в соавторстве с другими учеными написал полный курс алгебры и полный курс геометрии для средней школы, и по этим учебникам в школах СССР велось преподавание). Реформа не всеми была встречена с одобрением, Колмогоров подвергся резкой критике как со стороны ученых, так и со стороны учителей. Но система специализированного физико-математического среднего образования, вдохновителем которой тоже выступил Колмогоров, оказалась очень удачной. Школа при университете (ныне СУНЦ имени Колмогорова), созданная Колмогоровым, до сих пор остается одной из лучших математических школ в России.

Андре́й Никола́евич Колмого́ров (12 (25) апреля , Тамбов - 20 октября , Москва) - выдающийся советский математик .

Доктор физико-математических наук, профессор Московского Государственного Университета (), академик Академии Наук СССР (), лауреат Сталинской премии, Герой Социалистического Труда . Колмогоров - один из основоположников современной теории вероятностей , им получены фундаментальные результаты в топологии , математической логике , теории турбулентности , теории сложности алгоритмов и ряде других областей математики и её приложений.

Биография

Ранние годы

Мать Колмогорова - Мария Яковлевна Колмогорова ( -) умерла при родах. Отец - Николай Матвеевич Катаев, по образованию агроном (окончил Петровскую (Тимирязевскую) академию), погиб в 1919 году во время деникинского наступления. Мальчик был усыновлён и воспитывался сестрой матери, Верой Яковлевной Колмогоровой. Тётушки Андрея в своём доме организовали школу для детей разного возраста, которые жили поблизости, занимались с ними - десятком ребятишек - по рецептам новейшей педагогики. Для ребят издавался рукописный журнал «Весенние ласточки». В нём публиковались творческие работы учеников - рисунки, стихи, рассказы. В нём же появлялись и «научные работы» Андрея - придуманные им арифметические задачи. Здесь же мальчик опубликовал в пять лет свою первую научную работу по математике. Правда, это была всего-навсего известная алгебраическая закономерность, но ведь мальчик сам её подметил, без посторонней помощи!

В семь лет Колмогорова определили в частную гимназию. Она была организована кружком московской прогрессивной интеллигенции и всё время находилась под угрозой закрытия.

Андрей уже в те годы обнаруживает замечательные математические способности, но всё-таки ещё рано говорить, что дальнейший путь его уже определился. Были ещё увлечение историей, социологией. Одно время он мечтал стать лесничим. «В -1920 годах жизнь в Москве была нелёгкой, - вспоминал Андрей Николаевич. - В школах серьёзно занимались только самые настойчивые. В это время мне пришлось уехать на строительство железной дороги Казань-Екатеринбург. Одновременно с работой я продолжал заниматься самостоятельно, готовясь сдать экстерном за среднюю школу. По возвращении в Москву я испытал некоторое разочарование: удостоверение об окончании школы мне выдали, даже не потрудившись проэкзаменовать».

Университет

Профессура

А 23 июня 1941 года состоялось расширенное заседание Президиума Академии наук СССР . Принятое на нём решение кладёт начало перестройке деятельности научных учреждений. Теперь главное - военная тематика: все силы, все знания - победе. Советские математики по заданию Главного артиллерийского управления армии ведут сложные работы в области баллистики и механики. Колмогоров, используя свои исследования по теории вероятностей, даёт определение наивыгоднейшего рассеивания снарядов при стрельбе. После окончания войны Колмогоров возвращается к мирным исследованиям.

Трудно даже кратко осветить вклад Колмогорова в другие области математики - общую теорию операций над множествами, теорию интеграла, теорию информации , гидродинамику , небесную механику и т. д. вплоть до лингвистики . Во всех этих дисциплинах многие методы и теоремы Колмогорова являются, по общему признанию, классическими, а влияние его работ, как и работ его многочисленных учеников, среди которых немало выдающихся математиков, на общий ход развития математики чрезвычайно велико.

Круг жизненных интересов Андрея Николаевича не замыкался чистой математикой, объединению отдельных разделов которой в одно целое он посвятил свою жизнь. Его увлекали и философские проблемы (например, он сформулировал новый гносеологический принцип - Гносеологический принцип А. Н. Колмогорова), и история науки, и живопись, и литература, и музыка.

Можно удивляться колмогоровскому подвижничеству, его способности одновременно заниматься - и небезуспешно! - сразу множеством дел. Это и руководство университетской лабораторией статистических методов исследования, и заботы о физико-математической школе-интернате , инициатором создания которой Андрей Николаевич являлся, и дела московского математического общества, и работа в редколлегиях «Кванта » - журнала для школьников и «Математики в школе » - методического журнала для учителей, и научная и преподавательская деятельность, и подготовка статей, брошюр, книг, учебников. Колмогорова никогда не приходилось упрашивать выступить на студенческом диспуте, встретиться со школьниками на вечере. По сути дела, он всегда был в окружении молодых. Его очень любили, к его мнению всегда прислушивались. Свою роль играл не только авторитет всемирно известного ученого, но и простота, внимание, духовная щедрость, которую он излучал.

Реформа школьного математического образования

К середине 1960-х гг. руководство Министерства просвещения СССР пришло к заключению, что система преподавания математики в советской средней школе находится в глубоком кризисе и нуждается в реформах. Было признано, что в средней школе преподаётся лишь устарелая математика, а новейшие её достижения не освещаются. Модернизация системы математического образования осуществлялась Министерством просвещения СССР при участии Академии педагогических наук и Академии наук СССР. Руководство Отделения математики АН СССР рекомендовало для работы по модернизации академика А. Н. Колмогорова, который играл в этих реформах руководящую роль.

Результаты этой деятельности академика были оценены неоднозначно и продолжают вызывать много споров.

Последние годы

Академик Колмогоров - почётный член многих иностранных академий и научных обществ. В марте 1963 года учёный был удостоен международной премии Бальцана (этой премией он был награждён вместе с композитором Хиндемитом, биологом Фришем, историком Моррисоном и главой Римской католической церкви Папой Иоанном XXIII). В том же году Андрею Николаевичу было присвоено звание Героя Социалистического Труда. В 1965 году ему присуждена Ленинская премия (совместно с В. И. Арнольдом), в 1980 году - премия Вольфа . Награждён премией имени Н. И. Лобачевского в . В последние годы Колмогоров заведовал кафедрой математической логики.

Ученики

Когда одного из молодых коллег Колмогорова спросили, какие чувства он испытывает по отношению к своему учителю, тот ответил: «Паническое уважение… Знаете, Андрей Николаевич одаривает нас таким количеством своих блестящих идей, что их хватило бы на сотни прекрасных разработок» .

Замечательная закономерность: многие из учеников Колмогорова, обретая самостоятельность, начинали играть ведущую роль в избранном направлении исследований, среди них - В. И. Арнольд , И. М. Гельфанд , М. Д. Миллионщиков , Ю. В. Прохоров , А. М. Обухов , А. С. Монин, А. Н. Ширяев , С. М. Никольский , В. А. Успенский . Академик с гордостью подчёркивал, что наиболее дороги ему ученики, превзошедшие учителя в научных поисках.

Литература

Книги, статьи, публикации Колмогорова

• А. Н. Колмогоров, Об операциях над множествами, Матем. сб., 1928, 35:3-4
• А. Н. Колмогоров, Общая теория меры и исчисление вероятностей // Труды Коммунистической академии. Математика. - М.: 1929, т. 1. С. 8 - 21.
• А. Н. Колмогоров, Об аналитических методах в теории вероятностей, УМН, 1938:5, 5-41
• А. Н. Колмогоров, Основные понятия теории вероятностей. Изд. 2-е, М. Наука, 1974, 120 с.
• А. Н. Колмогоров, Теория информации и теория алгоритмов. - М.: Наука, 1987. - 304 с.
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд. М. Наука. 1976 г. 544 с.
• А. Н. Колмогоров, Теория вероятностей и математическая статистика. М. Наука 1986 г. 534с.
• А. Н. Колмогоров, «О профессии математика». М., Изд-во Московского Университета, 1988, 32с.
• А. Н. Колмогоров, «Математика - наука и профессия». М.: Наука, 1988 г., 288 с.
• А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Прохоров, «Введение в теорию вероятностей». М.: Наука, 1982 г., 160 с.
• A.N.Kolmogorov, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung, in Ergebnisse der Mathematik, Berlin. 1933.
• A.N.Kolmogorov, Foundations of the theory of probability. Chelsea Pub. Co; 2nd edition (1956) 84 p.
• A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin, Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Dover Publications (February 16, 1999), p. 288. ISBN 978-0486406831
• A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Introductory Real Analysis (Hardcover)R.A. Silverman (Translator). Prentice Hall (January 1, 2009), 403 p. ISBN 978-0135022788

О Колмогорове

• 100 великих учёных. Самин Д. К. М.: Вече, 2000. - 592 с. - 100 великих. ISBN 5-7838-0649-8

См. также

• Неравенство Колмогорова

Ссылки

Некоторые публикации А. Н. Колмогорова

• А. Н. Колмогоров О профессии математика . - М.: Изд-во Московского Университета, 1988. - 32 с.
• А. Н. Колмогоров Математика - наука и профессия . - М.: Наука, 1988. - 288 с.
• А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Прохоров Введение в теорию вероятностей . - М.: Наука, 1982. - 160 с.
• Статьи Колмогорова в журнале Квант (1970-1993).
• A. N. Kolmogorov . - 2nd edition. - Chelsea Pub. Co, 1956. - 84 с.(англ.)

Лекция 17

КАРДИНАЛЬНАЯ РЕФОРМА

МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

в 70–х годах

Никогда еще ни один народ не расплачивался столь тяжело за свою склонность к отрицанию; за насилие над нежными тканями собственной цивилизации. Разорить так легко, – в один год у нас разорялось то, что накапливалось веками.

М.О. Меньшиков

17.1. Экспансия Н. Бурбаки в педагогику

Еще в 50-х годах нашего столетия активизировалась деятельность Международной комиссии по народному образованию. Вопросы школьного математического образования стали обсуждаться на международных математических конгрессах. В 1954 г. на математическом конгрессе в Амстердаме комиссия предложила участникам доклад о радикальной реформе школьной математики. Было предложено положить в основу ее построения понятия множества, преобразования и структуры; модернизировать математическую терминологию и символику, существенно сократить многие традиционные разделы элементарной математики. К этой идее одни европейские страны отнеслись настороженно, а другие начали активную подготовку новых учебных программ и пособий. Более того, в некоторых странах началась и активная экспериментальная работа (например, в Бельгии работа Ж. Папи и его сторонников).

На 60-е годы пришелся и пик известности группы французских математиков, выступавших под псевдонимом Н. Бурбаки. Распространению их идей во многом способствовала детективная атмосфера, которая окружала их деятельность. В печати говорилось о том, что из состава этого научного коллектива автоматически исключается всякий достигший 40 лет, что каждый из них сначала работает в одиночку, а затем работа каждого обсуждается коллективно и только после этого рекомендуется к изданию в появившейся серии их трудов «Архитектура математики». На их совместные встречи коллеги (а тем более журналисты) никогда не приглашались. На всех международных математических конференциях, в которых Н. Бурбаки принимали участие (регистрировались), в одном из рядов зала заседаний всегда стояло пустое кресло, и на нем висела табличка с их именем; связь с ними можно было осуществлять только через их адвоката. Впоследствии выяснилось, что в группу Н. Бурбаки входили такие известные французские математики, как Г. Вейль, Ж. Дьедоне, Г. Шоке и некоторые другие; причем выяснилось это тогда, когда эти математики официально заявили, что они больше не являются членами данного коллектива.

Суть их идеи состояла в возможности аксиоматического построения математики как единой науки. Н. Бурбаки показали, что все разнообразные (и казалось бы, автономные) разделы математики (или различные математические дисциплины) суть ветви одного и того же «математического дерева», корнями которого являются так называемые математические структуры. Н. Бурбаки определили математику как науку о математических структурах и их моделях .

Приведу мнение ученого, признанного специалиста в математике академика Л.С. Понтрягина (мнение, которое разделяли многие другие, не менее авторитетные ученые): «...на определенном этапе развития математики высокоабстрактная теоретико-множественная концепция ввиду ее новизны стала модной, а увлечение ею – превалировать над конкретными исследованиями. Но теоретико-множественный подход – лишь удобный для математиков-профессионалов язык научных исследований. Действительная же тенденция развития математики заключается в ее движении к конкретным задачам, к практике» .

Но эта оценка прозвучала много позже, а тогда началась экспансия этих идей в массовую среднюю школу.

На Международном математическом конгрессе в Стокгольме в 1962 г. уже отмечалось, что в большом числе западных стран предполагается изучать в школьном (!) курсе математики элементы теории множеств и математической логики, понятия современной алгебры (группы, кольца, поля, векторы), начала теории вероятностей и математической статистики. Отмечалась желательность модернизации математической терминологии и символики; предлагалось исключить ряд традиционных разделов курса математики (элементарную геометрию и тригонометрию, потеснить арифметику). В рекомендациях Международной сессии, посвященной преподаванию математики в школе, проходившей в Афинах в 1963 г., прямо указывалось на то, что «основой школьного курса математики являются понятия множества, отношения, функции», отмечалась «необходимость иметь перед глазами (преподавателя, автора программ и учебников. – Ю.К.) идею математических структур, как идейную нить преподавания» .

Идеи неореформаторов с начала 70-х годов стали активно внедряться в школьную практику некоторых европейских стран (прежде всего Франции, Англии, Бельгии), в школах США и Канады. Реформы математического образования стали пропагандироваться не только через научно-методические разработки и журналы, но и через массовую печать.

Не избежала соблазна и наша, отечественная школа, хотя и существенно припоздала.

Комиссия по реформе среднего образования была создана при АН СССР и АПН

СССР еще в декабре 1964 г. Ее математическую секцию возглавили академики А.Н. Колмогоров и А.И. Маркушевич – активные сторонники реформы и непременные участники всех международных конференций по математическому образованию конца 60-х начала 70-х годов (см. Приложение 1, таблица 12).

В 1966 г. очередное заседание Международного математического конгресса проходило в нашей стране. Одна из секций конгресса была посвящена математическому образованию. В его работе официально участвовали и Н. Бурбаки (пустое кресло с табличкой в зале). Вместе с профессором И.К. Андроновым я принимал участие в работе секции по математическому образованию. На секции речь шла о путях и средствах коренной реформы школьного математического образования.

Выступавшие, в основном сторонники реформы, говорили о ней как о деле уже решенном в принципе, важном и нужном. Те трудности, которые уже обнаружились на практике, объяснялись главным образом новизной подхода и неподготовленностью учителей. Следует заметить, что высшая школа оказалась в смысле реформы более консервативной и осторожной, чем средняя.

Подавляющее большинство отечественных математиков-педагогов и методистов (в том числе и автор данной книги) заразились этим новым «поветрием» с Запада. Никто тогда и не думал о том, какой урон нашей, отечественной средней школе нанесет эта реформа, как долго придется устранять ее последствия.

Колмогоров Андрей Николаевич родился 25 апреля 1903 г. в Тамбове в семье агронома. Мать Мария Яковлевна умерла в день рождения сына, и его воспитывали тетушки. В 1910 г. А.Н. Колмогоров начал учиться в частной гимназии Е.А. Репман, в Москве. Закончить ее ему не удалось, но летом 1920 г. ему был выдан аттестат об окончании школы 2-й ступени, в которую переименовали гимназию Реман. Рано проявив математические способности (в возрасте 5 – 6 лет подметил закономерность: 1=1 2 ; 1+3=2 2 ; 1+3+5=3 2 ; 1+3+5+7=4 2 и т.д.), Д.Н. Колмогоров в том же году был зачислен (без экзаменов) на физико-математический факультет МГУ, который закончил в 1924 г.

Свою научную деятельность он начал еще во время учебы в университете, став одним из активных учеников Н.Н. Лузина. Учась в университете, подрабатывал преподаванием в школе. Его научная карьера развивалась традиционно: с 1925 г. – аспирант Н.Н. Лузина, с 1931 г. – профессор МГУ, с 1935 г. – доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой теории вероятностей. В 1939 г. А.Н. Колмогоров стал академиком АН СССР; в 1966 г. – академиком АПН СССР; в 1963 г. ему присвоено звание Героя Социалистического Труда; он лауреат Государственной и Ленинской премий (1941, 1965).

А.Н. Колмогорову принадлежит ряд фундаментальных работ по многим разделам математики (теория функций и функциональный анализ, теория вероятностей и т.д.). Им создана большая научная математическая школа. С начала 60-х годов А.Н. Колмогоров начал активно интересоваться проблемами школьного математического образования.

Прежде всего он обратил внимание на работу с одаренными школьниками-участниками математических олимпиад. В августе 1963 г. он стал одним из инициаторов создания летних математических школ, в том же году им была создана при МГУ физико-математическая школа-интернат № 18, в которой он преподавал и сам. В 1967 г. он возглавил коренную реформу школьного курса математики в средней школе, основной целью которой было повышение теоретического уровня ее преподавания; стал автором школьных учебников.

Маркушевич Алексей Иванович родился 2 апреля 1908 г. в Петрозаводске. В 1930 г. окончил физико-математический факультет Среднеазиатского университета, преподавал в вузах Ташкента. С 1935 г. начал преподавать в вузах Москвы (МГПИ, МГУ), заведовать редакцией математики в Издательстве технико-теоретической литературы (1934–1937, 1943–1947). В 1944 г. стал доктором физико-математических наук, а в 1946 г. – профессором. С 1958 по 1964 г. А.И. Маркушевич – заместитель министра просвещения РСФСР; в 1950 г. избран академиком АПН СССР, вице-президентом АПН СССР (1967–1975).

Математические работы А.И. Маркушевича относятся к теории аналитических функций. Ему принадлежат также работы по истории и методике математики. По его инициативе был начат выпуск серии книг «Библиотека учителя», «Популярные лекции по математике», «Энциклопедия элементарной математики» (1951–1952, 1963–1966).

А.И. Маркушевич как и А.Н. Колмогоров был во главе школьной реформы в области математического образования (60–70-х годов); он был председателем комиссии АН и АПН СССР по определению содержания образования в средней школе, активно участвовал в создании новых школьных учебников математики; был одним из организаторов издания 12-томной «Детской энциклопедии» (1971–1978), 3-томного издания «Что такое? Кто такой?» для младших школьников.

А.И. Маркушевич был широко эрудированным педагогом-организатором, неизменным участником международных конференций по образованию, страстным библиофилом.

17.2. Экспансия Ж. Пиаже в педагогику

Параллельно с работами Н. Бурбаки были опубликованы работы группы швейцарских психологов, руководимой Ж. Пиаже, – о структурах мышления, являющихся прямым аналогом математических структур, выявленных Н. Бурбаки в фундаменте математики-науки. На этом своеобразном стыке математики и психологии мышления возникла относительно новая педагогическая идея: у ребенка следует развивать прежде всего мышление, причем абстрактное. Содержание обучения служит в этом случае лишь попутным средством формирования умственной деятельности ребенка, и потому систематичность его изучения особого значения не имеет. Был признан наиболее эффективным так называемый метод открытий, когда ребенок, оперируя со специальным дидактическим материалом, самостоятельно обнаруживал те или иные математические факты .

Сущность новой методической системы можно усмотреть из работы с геопланом английского педагога-реформатора К. Гаттеньо. Геоплан представляет из себя квадратную доску с набитой на ней «гвоздевой сеткой»: 1010 = 100 гвоздей.

С помощью цветных резинок каждый ребенок (младший школьник) на своем геоплане получает при натягивании резинки на гвоздики какие-нибудь фигуры. Учитель, попросив детей поочередно изобразить свои конструкции на большом (классном) геоплане, дает необходимый комментарий. Так, комментируя фигуры 1 и 2 (см. рисунок), учитель говорит, что нами получены так называемые многоугольники, причем первый называют выпуклым, а второй – невыпуклым. Комментируя фигуру 3, учитель говорит о квадрате, замечая, что в большом квадрате содержится четыре маленьких квадрата, конгруэнтных друг другу. Более того, один маленький квадрат составляет четвертую долю большого, а два таких квадратика – половину большого; это можно записать в виде дробей:
фигура 4 – буква К и т.п. Таким образом, дети знакомятся с многообразием различных фактов, открытых ими самими (многоугольниками, дробями, буквами и т.д.). По мере продолжения обучения эти факты должны накапливаться и с помощью учителя классифицироваться, обобщаться и т.п. Достоинства и недостатки такой методики, на наш взгляд, очевидны.

Помимо установки на примат развития мышления, психологи школы Ж. Пиаже ставили в прямую зависимость успешность изучения тех или иных математических фактов от сформированности определенных «мыслительных» структур. Так, Ж. Пиаже утверждал, что ребенок будет готов к пониманию того, что такое число (т.е. к изучению арифметики) лишь в том случае, если у него сформированы три важные мыслительные структуры: постоянство целого, отношение целого к части, обратимость.

Он предлагал контролировать сформированность этих структур определенными типами упражнений. Успешность выполнения этих упражнений определяла степень готовности ребенка к изучению арифметики.

Вот примеры таких упражнений в соответствующем порядке.

Упражнение 1. На столе стоят два одинаковых узких сосуда с темной жидкостью. Ребенок видит, что жидкости налито в сосуды поровну. Рядом стоит сосуд большего диаметра. В него переливают жидкость из одного из данных сосудов. Ребенка спрашивают: «Поровну ли теперь жидкости в каждом из сосудов?»

Упражнение 2. Перед ребенком два букета: один – из 3 васильков, другой – из 20 роз. Ребенок знает, что перед ним цветы – розы и васильки. Его спрашивают: «Чего больше – цветов или роз?»

Упражнение 3. В полую темную трубку вводят проволоку с тремя цветными шариками. Ребенок наблюдает: первым вошел в трубку желтый шарик, за ним – зеленый, последним – красный, ребенка спрашивают: «Если мы вытянем все шарики назад, то какой шарик появится первым?»

Заметим, что выводы Ж. Пиаже о закономерностях развития ребенка, с точки зрения многих психологов, далеко не бесспорны. В свое время классик отечественной психологии Л.С. Выготский (1896–1934) резко критиковал Ж. Пиаже за недооценку им роли окружающей среды и личного опыта ребенка .

Тем не менее появилось своеобразное введение в математику, называемое «предчисловой математикой», изучение которой проводилось на специально созданных предметных моделях.

Одним из таких нетрадиционных пособий в начальной школе стали линеечки Кюзинера (бельгийского учителя математики – автора этого пособия).

Линеечки Кюзинера представляют собой набор брусков (прямоугольных параллелепипедов) различной длины и цвета (и цвет, и длина подобраны не случайно). Так, брусок длиной 1см имеет белый цвет и «входит» целое число раз во все другие бруски; брусок длиной 7 см является черным, для подчеркивания его особого положения. Вот таблица составляющих этого набора:

С помощью линеечек Кюзинера дети устанавливали различные отношения (равно, меньше, больше), взаимосвязи и взаимозависимости между числами (длинами брусков), сущность процесса измерения и т.д.

Трудно (да и было бы неверно) отвергать педагогическую полезность таких приборов, как геоплан Гаттеньо или линеечки Кюзинера. Для учителей того времени (наших и зарубежных) такие пособия (да еще изготовленные качественно) были откровением. На самом же деле новизна их была относительной, как и приоритеты их изобретателей. Еще в 1925 г. советский педагог П.А. Карасев предложил модель, аналогичную геоплану Гаттеньо, в качестве полезного средства наглядности , а в 1935 г. в книге он существенно развил свои идеи, сконструировал и описал применение целой серии таких моделей. Работа же ребенка с различными предметными множествами, кубиками, кружками, полосками, косточками счет и т.п. была традиционной в русской начальной школе. Задолго до Ж. Пиаже, в 1913 г., русский педагог-математик Д.Д. Галанин писал : «...наилучшим путем в обучении я считаю тот, который дает материал для мышления и творческих повторений, дает материал для создания идей, а сами идеи возникают уже непосредственно в душе ребенка путем естественной деятельности его психического аппарата. Путь для такого построения курса я вижу в опыте ребенка, в его конкретных чувственных восприятиях, которые уже им самим перерабатываются в идеи, а эти идеи само собой перерабатываются в логические понятия и суждения».

Для знакомства детей с началами теории множеств и математической логики также было изобретено специальное пособие – «логические блоки» З.П. Дьенеша (канадский математик и психолог). Набор З.П. Дьенеша состоял из геометрических фигур, изготовленных из дерева или пластмассы. В наборе было 48 предметов, отличающихся друг от друга по 4 различным свойствам:

– по цвету (красные, желтые, голубые);

– по форме (треугольники, прямоугольники, квадраты, круги);

– по толщине (тонкие и толстые);

– по размеру (малые и большие).

С помощью этого набора детей знакомили с классификацией, соотношениями между множествами, с основными теоретико-множественными операциями (и соответственно с дизъюнкцией, конъюнкцией, импликацией). Предполагалось, что в процессе манипулирования блоками Дьенеша у детей закладываются первичные представления о дедукции.

Опыт работы с этими логическими блоками не показал существенного продвижения детей в развитии их дедуктивного мышления. Но он послужил поводом (для сторонников усиления роли теории в школьном курсе математики) к смене методических акцентов при изучении математики, к примату дедуктивного пути изучения этого учебного предмета перед традиционным индуктивным путем.

С современной точки зрения все эти особые пособия полезны в весьма относительной степени: в целях мотивации обучения, пробуждения интереса к какому-либо математическому факту, для проведения внеклассных занятий и т.п. Считать их универсальным средством математического развития, а тем более обучения математике было бы по меньшей мере наивностью.

Увы, эта наивность многих математиков, педагогов, психологов, методистов (а может быть, и недостаточная их педагогическая компетентность) сослужила плохую службу нашей школе (и нужно ли радоваться тому, что также и школе зарубежной?!).

«Бурбакисты» считали, что курс математики средней школы необходимо строить, начиная с основ, по возможности аксиоматически. Так как в основе самой математики (как науки о структурах и их моделях) лежит теория множеств, то курсы алгебры и геометрии следует строить на теоретико-множественной основе, максимально используя логико-математическую терминологию и символику. При этом целесообразно начинать там, где это возможно, с понятий более общих и лишь потом переходить к их конкретизации. Ведущим методом изложения курса математики (и его изучения) должен был стать, по их мнению, дедуктивный метод. Основное внимание должно было быть уделено ведущим математическим понятиям: множеству, числу, функции (преобразованию), уравнению и неравенству, вектору. Главное же заключалось не столько в номенклатуре основных математических понятий (все эти понятия изучались в школьном курсе математики и раньше), сколько в современности их трактовки и в научной строгости определений.

Повышение научного уровня школьного курса математики стало ведущим лозунгом неореформаторов.

Вспомним прошлое нашей школы – увлечение классицизмом (изучение древних языков, умственное воспитание в качестве приоритета школьного образования и т.д.) История повторяется: как свидетельствует народная мудрость, «Всякое новое – это хорошо забытое старое».

17.3. Программные потрясения. Буря – сверху

Прошедший в 1966 г. Математический конгресс дал резкий толчок к ускорению реформы в нашей стране. Появились переводы работ Н. Бурбаки и Ж. Пиаже на русский язык; популярные брошюры о новой математике и новой психологии; статьи в педагогических журналах.

В 1966 г. был опубликован первый вариант новой программы по математике для 4–10 классов; в 1967 г. – второй ее вариант, который был опубликован в журнале «Математика в школе» для широкого обсуждения. В 1968 г. новая программа была уже официально утверждена Министерством просвещения СССР. По этой программе была начата спешная работа по написанию новых учебников. Программой было предусмотрено коренное изменение идеологии и содержания обучения математике.

Отметим сразу, что активным сторонником и проводником идей реформ стало Министерство просвещения СССР. Республиканское Министерство просвещения (возглавляемое в то время А.И. Даниловым) отнеслось к идее коренного реформирования школьного естественно-математического образования достаточно осторожно. В его ведении были тогда лишь начальное обучение и преподавание родного (русского) языка и литературы. Поэтому в России реформирование начальной школы практически не произошло. Отдельные попытки внедрить теоретико-множественный подход в начальный курс математики не вышли за рамки локальных экспериментов, не проникли в массовую школу. Достаточно вспомнить, что новый учебник математики под редакцией А.И. Маркушевича так и не был написан для всех лет обучения в начальной школе. Поэтому курс математики начальной школы попытались обновить только за счет более ранней алгебраической и геометрической пропедевтики (явного изучения простейших уравнений и т.п.). Однако и от этих нововведений весьма быстро отказались.

Отделение математики АН СССР (равно как и отделение физики) всерьез не занималось школьной реформой, доверив свое представительство в ее проведении академикам А.Н. Колмогорову и И.К. Кикоину.

Итак, в 1968 г. Министерством просвещения СССР была утверждена новая программа по математике для средней школы и опубликована в журнале «Математика в школе» (1968. – №2). Один учебный год (!) был оставлен для написания новых учебников и на их проверку.

После годичного обсуждения и почти без экспериментальной проверки, при незначительной корректировке программы и с наспех подготовленными учебниками, в 1970/71 учебном году начался переход массовой школы на новую систему обучения математике в соответствии с утвержденным планом: «в 1970/71 учебном году – IV классы, 1971/72 – V классы, 1972/73 – VI классы, 1973/74 – VII и IX классы, 1974/75 – VIII и X классы. Указывалось, что новая программа по каждому классу утверждается (окончательно. – Ю.К.) одновременно с соответствующими учебниками» .

Не правда ли, ударная семилетка? Реформа должна была закончиться (по плану министерства) в 1975 г.; закончилась она в 1978 г., причем полным ее провалом.

Изменения в содержании школьного обучения математике были весьма радикальными. Так, бывший курс арифметики 5–6 классов предлагалось заменить курсом математики, в котором учебный материал начинался с изучения элементов теории множеств, а арифметический материал был существенно «пропитан» алгебраической и геометрической пропедевтикой. Курс алгебры основной школы предлагалось «пронизать» идеей множества, соответствия и функции. В курсе планиметрии предлагалось усилить идею геометрических преобразований, рассматривать геометрическую фигуру как множество точек; усилить строгость при рассмотрении геометрических величин; изучать элементы векторного исчисления. Курс алгебры и начал анализа в старших классах предлагалось излагать на языке «эпсилон-дельта», рассматривая понятия предела производной, первообразной, определенного интеграла и даже дифференциального уравнения. Курс стереометрии строить по возможности на векторной основе; в заключение курса математики рассмотреть систему аксиоматического построения геометрии.

Таким образом, данная программа по математике радикально отличалась от всех предшествующих программ нашей отечественной школы. Она содержала не только целый ряд абсолютно новых для учителей вопросов, но и весьма непривычные для них трактовки общеизвестных математических понятий, равно как и необычную терминологию и символику. Чего, например, стоило учителям осмыслить привычный «направленный отрезок» (вектор) как параллельный перенос; использовать в школе термин «конгруэнтно» вместо привычного термина «равно», говорить о задаче решения неравенства типа 2 < х < 3 и т.п.

Ни учительство, ни институты усовершенствования учителей, ни пединституты, ни органы образования на местах не были готовы к столь резкому изменению содержания и методов обучения математике в школе.

17.4. А на практике происходило следующее

Впервые годы реформы переподготовка учителей проходила по цепочке по принципу «испорченного телефона»: учителя математики получали методическую информацию из вторых или третьих рук. Программа по математике была столь нова, а учебники столь несовершенны и трудны для понимания, что учителю приходилось сначала разъяснять последовательно (т.е. шаг за шагом) содержание учебника, а уже потом говорить о методике преподавания тех или иных тем. Создавшаяся ситуация вынудила многих опытных учителей математики досрочно уйти на пенсию (по выслуге лет), что еще больше усугубило возникшие серьезные трудности в реализации идей реформы. Более того, срочно были приняты меры по изменению системы математической подготовки будущих учителей в педагогических институтах: были составлены новые учебные планы и программы. Так, из учебных планов физматов пединститутов был исключен специальный курс элементарной математики, изучавшийся в течение всех четырех лет обучения и представляющий теоретическую и практическую надстройку традиционного школьного курса математики , . Различные алгебраические дисциплины были объединены в учебный предмет алгебру, а геометрические – в геометрию.

До сих пор педагогические вузы и университеты России страдают от этих нововведений; необходимое для сегодняшнего дня изменение учебного плана и программ пока еще только проектируется.

Положение осложнялось и тем, что и сами авторы новых учебников, а также руководство Министерства просвещения были непоследовательны в своих программно-методических установках. Так, например, на первом учебном году реформы требовалось символически и терминологически отличать отрезок АВ как множество точек – [АВ ], длину отрезка АВ как величину – |АВ| и значение длины как число (за неумение это делать учитель снижал школьнику оценку); на втором году реформы было рекомендовано считать это не обязательным, а вроде бы ясным (руководствоваться здравым смыслом). В начале систематического курса алгебры шестиклассникам (!) предлагалось понять и запомнить безупречно строгое определение функции (и авторы учебника даже гордились этим) – «Функцией называется соответствие между множеством А и множеством В, при котором каждому элементу множества А соответствует не более одного элемента множества В». Иллюстрировали это определение примерами соответствия, определенного на конечных множествах, состоящих из небольшого числа элементов, на метко названных учителями «блиночках».

Тот факт, что при сразу же начинавшемся изучении конкретных функций (например, линейной функции) школьники имели дело не с дискретными конечными множествами, а с непрерывными бесконечными множествами, никого не смущал. Некоторые методисты говорили, правда, что введенное определение функции нигде в курсе алгебры не «работает», но это считалось небольшим недостатком.

К тому же возникла «педагогическая вилка» между обучением математике и обучением физике. На уроках математики школьники говорили о функции как о соответствии, а на уроках физики те же школьники говорили о ней как о зависимой переменной (и такая «раздвоенность» была не единственной).

Первые теоремы традиционного систематического курса геометрии, на которых «дореформенные» школьники учились логике доказательства и которые легко доказывались «методом наложения», сопровождались теперь значительно более трудными доказательствами (треугольники нельзя было мысленно выводить из плоскости). При этом признаки равенства треугольников стали называться признаками «конгруэнтности», так как термин «равно» оказался занятым при введении начал теории множеств. Школьники с большим трудом учились выговаривать это слово. Но зато как научно они выражались!

Тот факт, что термин «равно» относился к множествам, состоящим из одних и тех же элементов, а треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 состоят из разных точек, с трудом осмысливался школьниками. Более того, трактовка многих математических понятий, принятая в школьном курсе математики, стала существенно отличаться от трактовки тех же понятий в курсе физики. Кроме отмеченных ранее разночтений в трактовке функции, укажем еще одно – определение вектора. Вектор в курсе физики определялся как направленный отрезок. В новом курсе математики его определяли так: «Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку М 1 , что луч ММ 1 сонаправлен с лучом АВ и расстояние |MM 1 | равно расстоянию |АВ| ». «Что же это? – писал в 1980 г. академик Л.С. Понтрягин, – насмешка? Или неосознанная нелепость? Нет, замена в учебниках многих сравнительно простых, наглядных формулировок на громоздкие, нарочито усложненные, оказывается, вызвана стремлением... усовершенствовать (!) преподавание математики... На мой взгляд, в подобное состояние пришла вся система школьного математического образования» .

Да, с позиций сегодняшнего дня четко просматривается непригодность данного курса математики для массовой школы. Фактически этим курсом не был повышен научный уровень преподавания математики. Был повышен до недопустимых пределов (и нередко без особой надобности) уровень формализации школьного курса математики. Действительно, чем иначе можно было объяснить трактовку такого ясного понятия, как уравнение (равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой) через предикат (высказывательную форму), выражающий отношение равенства и обращающийся при некоторых значениях переменной в истинное высказывание. А чего стоила, например, строчка в программе: «Решение неравенств вида х > 5, х < 2»!

Вспомните борьбу с формализмом в преподавании математики, которую вели прогрессивные отечественные педагоги в конце прошлого века. Увы, история пока еще слабо нас учит.

17.5. Печальный итог

В течение всего срока действия этого курса в школе (с 1969 по 1979 г.) каждый год программа и учебники изменялись, перерабатывались, сокращались. Многие темы курса переходили в разряд необязательных или исключались из него совсем. И тем не менее курс математики упрямо не упрощался! В меньшей степени был заформализован курс алгебры, так как не удалось сделать его строго теоретическим; большей формализацией был пронизан курс геометрии – как курс, построенный на строго логической основе. Следует заметить, что, несмотря на большие трудности, связанные с обучением математике и физике, к 1976 г. в стране был в основном завершен переход ко всеобщему обязательному среднему образованию.

Какие только не принимались меры к тому, чтобы внедрить «невнедряемое»! В то время автор этой книги заведовал сектором обучения математике НИИ школ МП РСФСР и должен был (в силу своих служебных обязанностей) контролировать ход реформы в России, оказывать всевозможную помощь учителям и методистам республики: разъяснять содержание обучения математике, пояснять содержание новых учебников, рекомендовать эффективную методику обучения (через чтение лекций в центре и в регионах, подготовку методических пособий и т.д.). По поручению Министерства просвещения СССР и РСФСР и издательства «Просвещение», в соавторстве с двумя опытными учителями, я в архисрочном порядке (по полугодиям) готовил пособие «Уроки геометрии» (в 6–8 классах). Тогда (как и многие другие методисты) я полагал, что нужно лишь активизировать работу и реформа успешно завершится.

Министерство просвещения РСФСР ежегодно слушало на коллегии отчеты о ходе реформы школьного математического образования, регулярно отсылая аргументированные и объективные справки о состоянии дел в Министерство просвещения СССР; предлагало ряд мер по снижению темпов реформы, облегчению программных требований; выражало свои сомнения по поводу забвения отечественных школьных традиций. Под давлением фактов пошли даже на такой крайний шаг, как отмена экзамена по геометрии (а на первом году реформы – отмена годовой оценки по геометрии в шестых классах). Ничего не помогало. Авторы учебников и реформаторы из министерства продолжали утверждать, что неуспехи реформы временны; объясняются «болезнью роста», неподготовленностью учителей, слабой подготовкой детей в начальной школе и даже переходом к среднему всеобучу!

Все встало на свои места при первом выпуске из средней школы «отреформированной» молодежи, поступающей даже не в обычные, а в престижные вузы.

Когда были обнародованы результаты приемных экзаменов, полученные абитуриентами, завершившими изучение математики на теоретико-множественной основе и пришедшими поступать в МГУ, МФТИ, МИФИ и другие престижные вузы (т.е. лучшими выпускниками наших школ), среди ученых-математиков АН СССР и преподавателей вузов началась паника. Было повсеместно отмечено, что математические знания выпускников школ страдают формализмом; навыки вычислений, элементарных алгебраических преобразований, решения уравнений фактически отсутствуют. Абитуриенты оказались практически неподготовленными к изучению математики в вузе. Шок от результатов этой реформы, полученный общественностью, был настолько велик, что вызвал реакцию в ЦК КПСС и правительстве страны. Началось «исправление ошибок», проходившее по схеме, уже ставшей традиционной: 1) поиски виновных, 2) наказание невиновных и 3) награждение непричастных.

17.6. Бунт российского министерства и Отделения математики АН СССР

О том, что положение с математической подготовкой выпускников средней школы стало критическим, Министерство просвещения РСФСР сообщало в вышестоящие правительственные и партийные инстанции неоднократно. Но министр просвещения СССР был в то время и членом ЦК КПСС, и потому эти сигналы гасились. Тем не менее «бунт на корабле» все же произошел.

Министерство просвещения РСФCH лучше информированное о положении дел в своей республике, возглавляемое в то время авторитетным педагогом и администратором академиком АПН СССР А.И. Даниловым, решило немедленно начать работу по созданию новых программ по математике (на основе утраченных позитивных традиций отечественной школы) и новых учебников математики. В марте – апреле 1978 г. Коллегией министерства была образована специальная комиссия по такой контрреформе (академик АН СССР А.Н. Тихонов – научный руководитель, автор этой книги – ее педагогический руководитель). Коллегией МП РСФСР было поручено комиссии в срочном порядке подготовить новую программу по математике для 4 – 10 классов и начать работу над новыми учебниками для массовой школы. Тогда же министерством были определены регионы (Калининская, Горьковская, Ростовская области, Мордовская АССР, г. Ленинград и г. Москва), где с 1978/79 учебного года должна была начаться экспериментальная проверка новой программы и учебников.

Бюро Отделения математики АН СССР поручило академику А.Н. Тихонову возглавить работу в Министерстве просвещения РСФСР по разработке новой программы и учебников математики для средней школы. Более того, в мае 1978 г. оно приняло специальное постановление по этому вопросу, текст которого приводится ниже.

Герб СССР

ПРЕЗИДИУМ АКАДЕМИИ НАУК СССР

Бюро Отделения математики

ПОСТАНОВЛЕНИЕ

г. Москва

п.21. Об учебных программах и учебниках по математике для средней школы:

1. Признать существующее положение со школьными программами и учебниками по математике неудовлетворительным как вследствие неприемлемости принципов, заложенных в основу программ, так и в силу недоброкачественности школьных учебников.

2. Считать необходимым принять срочные меры к исправлению создавшегося положения, Широко привлекая, в случае необходимости, ученых–математиков, сотрудников АН СССР, к разработке новых программ, созданию и рецензированию новых учебников.

3. Ввиду создавшегося критического положения в качестве временной меры рекомендовать рассмотреть возможность использования некоторых старых учебников.

4. Провести широкое обсуждение вопроса о школьных программах и учебниках по математике на Общем собрании ОМ осенью (октябрь 1978 г).

Председатель Академик-секретарь Ученый секретарь

Отделения математики Отделения математики

АН СССР академик – АН СССР д.ф.м.н. –

Н.Н. Боголюбов А.Б. Жижченко

В декабре 1978 г. на Общем собрании Отделения математики АН СССР (почти в полном его составе) было обсуждено положение дел со школьной математикой. На это собрание были приглашены представители Министерства просвещения СССР (В.М. Коротов), РСФСР (Г.П. Веселов), сотрудники АПН СССР, представители вузов и НИИ школ. Отделение математики заслушало мое сообщение о проекте программы по математике, подготовленном в МП РСФСР, и практически единогласно приняло соответствующее постановление.

Приведем полный текст этого постановления, из которого станет понятным, почему редакция журнала «Математика в школе» (конечно же по указанию Министерства просвещения СССР) отказалась его печатать. Власть имущие не любят выносить сор из избы.

РЕШЕНИЕ ОБЩЕГО СОБРАНИЯ

ОТДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИКИ АН СССР

1. Признать существующее положение со школьными программами и учебниками по математике неудовлетворительным.

3. Создать Комиссию по вопросам математического образования в средней школе при Отделении математики АН СССР.

Поручить Бюро Отделения утвердить персональный состав Комиссии.

4. Одобрить инициативу Министерства просвещения РСФСР по созданию проектов экспериментальных программ по математике для средней школы.

Считать необходимым завершить доработку и рецензирование этих программ к 1 февраля 1979 г. и представить на рассмотрение Комиссии Отделения математики АН СССР. Проект программы довести до сведения всех членов Отделения и просить их представить свои мнения и замечания в кратчайший срок.

5. С целью введения новых экспериментальных программ и учебников по математике с 1 сентября 1979 г. в некоторых районах Российской Федерации просить Министерство просвещения РСФСР обеспечить соответствующую базу.

По итогам этого собрания были опубликованы статьи академиков А.Н. Тихонова, Л.С. Понтрягина и В.С. Владимирова в журнале «Математика в школе» , статья академика Л.С. Понтрягина в журнале «Коммунист» (1980.–№14). Была создана комиссия ОМ АН СССР по новой реформе школьного математического образования (противники называли ее контрреформой) в составе академиков А.Н. Тихонова, И.М. Виноградова. А.В. Погорелова, Л.С. Понтрягина.

Познакомимся с теми, кто был в первых рядах контрреформы, благотворной для нашей страны.

Иван Матвеевич Виноградов родился в семье священника в селе Мило люб Великолукского уезда Псковской губернии. По окончании в 1910 г. реального училища в Великих Луках И.М. Виноградов поступил в Петербургский университет и в 1915 г. был оставлен в университете для подготовки к профессорскому званию. В 1918 – 1920 гг. И.М. Виноградов – доцент и профессор Пермского университета, а в 1920 – 1934 гг. – профессор Ленинградского политехнического института и Ленинградского университета. С 1932г. И.М. Виноградов руководит Математическим институтом Академии наук СССР им. В.А. Стеклова.

В 1929 г. И.М. Виноградов был избран академиком АН СССР. Основные его труды посвящены аналитической теории чисел и стали классическими. Для студентов университета им было написано пособие «Основы теории чисел».

Значительна роль И.М. Виноградова в исправлении тяжелого положения, в котором оказалась школа после реформы 70-х гг.; он возглавил одну из двух комиссий по математическому образованию ОМ АН СССР (вторую комиссию возглавлял А.Н. Тихонов). Академик И.М. Виноградов дважды Герой Социалистического труда (1945, 1971), лауреат Ленинской премии (1972) и Государственных премий (1941, 1983).

Андрей Николаевич Тихонов родился 30 октября 1906 г. в г. Гжатске Смоленской области. В 1927 г. он окончил Московский университет, а затем аспирантуру в Институте математики МГУ. В конце 20-х годов работал учителем математики в средней школе. После защиты докторской диссертации в 1936 г. он – профессор Московского университета и Института прикладной математики АН СССР (с 1979 г. – в должности директора). В 1970 г. в МГУ был образован факультет вычислительной математики и кибернетики; со дня его основания А.Н. Тихонов был его деканом и заведовал там же кафедрой математической физики. В 1939 г. А.Н. Тихонов избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1966 г. – академиком.

А.Н. Тихонов – выдающийся ученый, достигший фундаментальных результатов во многих разделах современной математики и ее приложений. Он внес большой вклад в создание новых научных направлений, например в методы решения некорректно поставленных задач. Особая роль принадлежит Андрею Николаевичу в исправлении тяжелого положения с математическим образованием в средней школе, вызванным непродуманной реформой школы 70-х годов. Он стал научным руководителем авторских коллективов учебников математики (воссоздавших позитивные традиции отечественной школы), которые уже два десятилетия действуют в массовой школе.

А.Н. Тихонов – автор и руководитель многотомного курса высшей математики и математической физики для университетов. Академик А.Н. Тихонов – дважды Герой Социалистического Труда (1953, 1986), лауреат Государственных премий СССР (1953, 1976), Ленинской премии (1966).

Лев Семенович Понтрягин родился 3 сентября 1908 г. в Москве. В 14 лет в результате несчастного случая он полностью потерял зрение, тем не менее в 1925 г. он поступил на физико-математический факультет Московского университета, закончил его в 1929 г., а в 1931 г. закончил аспирантуру при МГУ. С 1930 г. Л.С. Понтрягин – доцент кафедры алгебры, а с 1935 г. – профессор МГУ. С 1934 г. до конца своей жизни Л.С. Понтрягин – научный сотрудник Математического института АН СССР им. В.А. Стеклова. В 1939 г. он был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1958 г. – академиком.

Льву Семеновичу принадлежат фундаментальные труды во многих разделах математики, прежде всего в топологии и теории оптимального управления. Как и А.Н. Тихонов, академик Л.С. Понтрягин оказал большое влияние на исправление ошибок, связанных с «бурбакистской» реформой школы; широко известна его критическая статья «О математике и качестве ее преподавания», опубликованная в журнале «Коммунист» в 1980 г.

Академик Л.С. Понтрягин – Герой Социалистического Труда (1969), лауреат Государственных премий СССР (1941, 1975), Ленинской премии (1962), премии им. Н.И. Лобачевского (1966).

Эдуард Генрихович Позняк родился 1 мая 1923 г. В 1947 г. он закончил механико-математический факультет МГУ, а затем аспирантуру. С 1951 г. до конца своей жизни Э.Г. Позняк работал на кафедре высшей математики физического факультета МГУ. В 1950 г. он защитил кандидатскую, а в 1966 г. – докторскую диссертацию; профессор (1967); заслуженный деятель науки РФ.

Эдуард Генрихович был не только крупным математиком, но и выдающимся педагогом, блестящим лектором. По учебникам геометрии, созданным при участии Э.Г. Позняка, занимаются школьники России более 20 лет, по учебникам математического анализа, по аналитической геометрии и линейной алгебре (написанных совместно с академиком В.А. Ильиным) – студенты университетов; учебники для высшей школы удостоены Государственной премии СССР (1980). При активном участии Э.Г. Позняка был создан первый в России учебник по математике для гуманитариев (1995-1996).

Эдуард Генрихович запомнился всем, кто его знал, как истинно интеллигентный человек, широко образованный, тактичный и мягкий в обращении со всеми людьми, патриот своего Отечества.

Лидер реформаторов школьного математического воспитания Алексей Иванович Маркушевич особыми заслугами на ниве научной деятельности не отметился, зано на околонаучном поприще блеснул: упразднил гениальную методику Киселёва и обнаружился как главный скупщик средневековых европейский рукописей, украденных в Центральном государственномо архиве древних актов. Вот какого полёта люди пишут для наших детей учебники, начиная с семидесятых...

Призывы вернуться к Киселёву слышатся вот уже тридцать лет. Возмущение началось ещё в конце семидесятых, сразу как только обнаружились первые результаты реформы. Кое-кто объясняет это «ностальгией»...

Академик РАО Ю.М. Колягин, доктор педагогических наук:

«Имя Андрея Петровича Киселева вызывает у учителей старшего поколения чувства, близкие к ностальгии: тоску о старом добром времени, о делах давно минувших лет, о своих успехах и неудачах на ниве просвещения. Учителя вспоминают то время, когда в школе действовал один учебник математики, действовал долго, и потому они имели возможность изучить все его достоинства и недостатки.

Даже из тех, кто знает учебники А.П. Киселева не понаслышке, немногие осведомлены о том, что его учебные книги охватывали практически все школьные математические дисциплины: арифметику, алгебру, геометрию, начала анализа. Андрей Петрович был не только талантливым учителем, автором учебников, но и блестящим лектором ».

Л.Н. Аверьянова, заместитель директора Государственной научной педагогической библиотеки имени К. Д. Ушинского:

Андрей Петрович Киселев — это эпоха в педагогике и преподавании математики в средней школе. Его учебники математики установили рекорд долговечности, оставаясь свыше 60 лет самыми стабильными учебниками в отечественной школе, и на многие десятилетия определили уровень математической подготовки нескольких поколений граждан нашей страны.

Академик В.И. Арнольд:

„Я бы вернулся к Киселеву...”

Формальная дань «уважения», за которой вообще не угадывается, понимает ли автор первого из этих высказываний то, что возвращение «понятного и милого сердцу» учебника, со всеми его «недостатками», является стратегическим вопросом выживания страны... Я не преувеличиваю. Сейчас курс математики усваивают не более двадцати процентов школьников. Пока учились по Киселёву, таких было восемдесят процентов.

Взрывной рост и последующий расцвет науки и технологий при Сталине был бы просто невозможен при нынешнем уровне усвоения математики в нашей школе. На какие же прорыва может рассчитывать Россия при таком упадке преподавания математики! А без рывка мы безнадёжно отстанем от конкурентов, и нас просто сожрут.

Неуместность ссылок на «ностальгию» становится очевидной при внимательном сравнении киселёвских учебников с пореформенными. Первым, кто это сделал, был выдающийся русский математик Лев Семёнович Понтрягин. Профессионально проанализировав новые учебники, он убедительно, на примерах доказал, что вернуться к учебникам Киселёва совершенно необходимо. Потому что все новые учебники ориентированы на Науку, точнее, на наукообразие и полностью игнорируют Ученика, психологию его восприятия, которую умели учитывать старые учебники.

Именно «высокий теоретический уровень» современных учебников — коренная причина катастрофического падения качества обучения и знаний. Причина эта действует уже более тридцати лет, не позволяя хоть как-то исправить ситуацию.

Сегодня усваивают математику, вцелом, около 20% учащихся. Геометрию — вовсе 1%... В сороковых годах, сразу после войны, полноценно усваивали все разделы математики 80% школьников, учившихся по Киселёву . Это ли не аргумент за его возвращение детям?!

В восьмидесятых годах призыв академика Понтрягина был проигнорирован Министерством образования под предлогом необходимости в совершенствовании учебников. Сегодня мы видим, что сорок лет «совершенствования» плохих учебников так и не породили хороших. И не могли породить. Потому что хороший учебник не «пишется» в один-два года по заказу министерства или для конкурса. Не будет он «написан» и за десять лет. Он вырабатывается талантливым педагогом-практиком вместе с учащимися в течение всей педагогической жизни, а не профессором математики или академиком за письменным столом.

Педагогический талант редок, гораздо реже собственно математического. Хороших математиков — тьма, авторов хороших учебников — единицы. Главное свойство педагогического таланта — способность сочувствия с учеником, которая позволяет правильно понять ход его мысли и причины затруднений. Только при этом субъективном условии могут быть найдены верные методические решения. И они должны быть ещё проверены, скорректированы и доведены до результата долгим практическим опытом: внимательными, педантичными наблюдениями за многочисленными ошибками учащихся, вдумчивым их анализом...

Именно так в течение более сорока лет создавал свои замечательные, уникальные учебники учитель Воронежского реального училища Андрей Петрович Киселёв . Его высшей целью было понимание предмета учащимися. И он знал, как эта цель достигается. Поэтому так легко было учиться по его книгам.

Свои педагогические принципы, в предисловия к одному из учебников, Андрей Петрович выразил очень кратко: «Автор, прежде всего, ставил себе целью достичь трёх качеств хорошего учебника: точности в формулировке и установлении понятий, простоты в рассуждениях и сжатости в изложении».

Глубокая педагогическая значительность этих слов как-то теряется за их простотой. Но эти простые слова стоят тысяч современных диссертаций. Давайте вдумаемся! Современные авторы, следуя наказу Колмогорова, стремятся «к более строгому, с логической стороны, построению школьного курса математики». Киселёв заботился не о «строгости», а о «точности» формулировок, которая обеспечивает их правильное понимание, адекватное науке. Точность — это соответствие смыслу. Пресловутая формальная «строгость» ведёт к отдалению от смысла и, в конце концов, полностью уничтожает его.

Киселев даже не употребляет слова «логика» и говорит не о «логичных доказательствах», вроде бы, неотъемлемо свойственных математике, а о «простых рассуждениях». В них, в этих «рассуждениях», разумеется, присутствует логика, но она занимает подчиненное положение и служит педагогической цели — понятности и убедительности рассуждений для учащегося, а не для академика.

Наконец, сжатость. Обратите внимание, — не краткость, а сжатость! Как тонко чувствовал Андрей Петрович смысл слов! Краткость предполагает сокращение, выбрасывание чего-то, может быть, и существенного. Сжатость — сжимание без потерь. Отсекается только лишнее, отвлекающее, засоряющее, мешающее сосредоточению на смыслах. Цель краткости — уменьшение объёма. Цель сжатости — чистота сути! Этот комплимент в адрес Киселёва прозвучал на конференции «Математика и общество» в Дубне, в 2000-м году: «Какая чистота!»

Насколько важен для ребёнка правильный выбор слов, говорит в одной из своих методических работ и легендарная в музыкальном мире Галина Степановна Турчанинова, первооткрыватель таланта Максима Венгерова. Её ученики никогда не слышали в классе таких, например, выражений, как «прижать струну», что у всякого ассоциируется с некоторым мышечным усилием, или «отпустить струну», что ассоциируется с вялым или, по крайней мере, неторопливым «отпусканием». Она говорила малышам, пальчик «падает» на струну или пальчик «отскакивает» от струны.

У ребёнка в его представлении возникал образ некоторого безмускульного процесса: сам пальчик падает на струну, сам — отскакивает. Падение — отскок, падение — отскок... В результате все ученики Галины Степановны показывали удивительную свободу и лёгкость любых движений по грифу уже на ранней стадии обучения.

Вот где ещё одна тайна чудесной педагогический силы Киселёва! Он не только психологически правильно подаёт каждую тему, но строит свои учебники и выбирает способы объяснения соответственно возрастным формам мышления и возможностям понимания детей, неторопливо и основательно развивая их. Высший уровень педагогического мышления, недоступный современным дипломированным методистам и коммерчески преуспевающим авторам учебников.

Долго не удавалось внести ясность, пока не осенила мысль обратиться за помощью к Киселеву, — я помнил, что в школе эти вопросы не вызывали никаких затруднений и даже были интересны. Сейчас этот раздел выброшен из программы средней школы, — таким путем Минпрос пытался решить созданную им самим проблему перегрузки.

Так вот, прочитав изложение Киселева, я был изумлен, когда нашел у него решение конкретной методической проблемы, которая долго не удавалась мне. Возникла волнующая связь времен и душ, — оказалось, что А. П. Киселев знал о моей проблеме, думал над ней и решил ее давным-давно!

Решение состояло в умеренной конкретизации и психологически правильном построении фраз, когда они не только верно отражают суть, а учитывают ход мысли ученика и направляют ее. И надо было изрядно помучиться в многолетнем решении методической задачи, чтобы оценить искусство А. П. Киселева. Очень незаметное, очень тонкое и редкостное педагогическое искусство. Редкостное! Современным учёным педагогам и авторам коммерческих учебников следовало бы заняться исследованиями учебников учителя гимназии Андрея Петровича Киселёва.

А.М. Абрамов, один из реформаторов — он участвовал в написании «Геометрии» Колмогорова, — честно признаёт, что только после многолетнего изучения и анализа учебников Киселёва стал немного понимать скрытые педагогические тайны этих книг и глубочайшую педагогическую культуру их автора, учебники которого — национальное достояние России .

Термин «устарел» — всего лишь лукавый прием , характерный для модернизаторов всех времен. Прием, воздействующий на подсознание. Ничто подлинно ценное не устаревает , — оно вечно. И его не удастся «сбросить с парохода современности», как не удалось сбросить «устаревшего» Пушкина РАППовским модернизаторам русской культуры в двадцатые годы. Никогда не устареет, не будет забыт и Киселев.

Другой аргумент: возвращение невозможно из-за изменения программы и слияния тригонометрии с геометрией. Довод не убедительный — программу можно еще раз изменить, а тригонометрию разъединить с геометрией и, главное, с алгеброй. Более того, указанное «соединение» (как и соединение алгебры с анализом) является еще одной грубой ошибкой реформаторов-70, оно нарушает фундаментальное методическое правило — трудности разъединять, а не соединять .

Классическое обучение «по Киселеву» предполагало изучение тригонометрических функций и аппарата их преобразований в виде отдельной дисциплины в X классе, а в конце — приложение усвоенного к решению треугольников и к решению стереометрических задач. Последние темы были замечательно методически проработаны с помощью последовательности типовых задач. Стереометрическая задача «по геометрии с применением тригонометрии» была обязательным элементом выпускных экзаменов на аттестат зрелости. Учащиеся хорошо справлялись с этими задачами. А сегодня? Абитуриенты МГУ не могут решить простую планиметрическую задачу!

Модернизаторы семидесятых заменили этот принцип антипедагогическим псевдонаучным принципом «строгого» изложения. Именно он уничтожил методику, породил непонимание и отвращение учащихся к математике . Приведу пример педагогических уродств, к которым ведет этот принцип.

Как вспоминает старый новочеркасский учитель В.К. Совайленко, 25-го августа 1977-го года проходило заседание УМСа МП СССР, на котором академик А.Н. Колмогоров анализировал учебники математики с 4-го по 10-й классы. Заканчивая рассмотрение очередного учебника академик обращался к присутствующим с фразой: «После некоторой корректировки это будет прекрасный учебник, и если вы правильно понимаете этот вопрос, то вы одобрите этот учебник ». Присутствовавший на заседании учитель из Казани с сожалением сказал рядом сидящим: «Это же надо, гений в математике — профан в педагогике. Он не понимает, что это не учебники, а уроды, и он их хвалит ».

В прениях выступил московский учитель Вайцман: «Я прочитаю из действующего учебника геометрии определение многогранника ». Колмогоров, выслушав определение, сказал: «Верно, все верно! ». Учитель ему ответил: «В научном отношении все верно, а в педагогическом — вопиющая безграмотность. Это определение напечатано жирным шрифтом, значит, для обязательного заучивания, и занимает полстраницы.

Так разве суть школьной математики в том, чтобы миллионы школьников зубрили определения в полстраницы учебника? В то время, как у Киселева это определение дано для выпуклого многогранника и занимает менее двух строк. Это и научно, и педагогически грамотно ».

О том же говорили в своих выступлениях и другие учителя. Подводя итоги, A.Н. Колмогоров сказал: «К сожалению, как и прежде, продолжалось ненужное критиканство, вместо делового разговора. Вы меня не поддержали. Но это не имеет значения, так как я договорился с министром Прокофьевым, и он меня полностью поддерживает ». Данный факт изложен B.К. Совайленко в официальном письме в адрес ФЭС от 25.09.1994 г.

Еще один интересный пример профанации педагогики специалистами-математиками. Пример, неожиданно приоткрывший одну поистине «тайну» Киселевских книг. Лет десять назад присутствовал я на лекции крупного нашего математика. Лекция посвящалась школьной математике. В конце задал лектору вопрос, — как он относится к учебникам Киселева? Ответ: «Учебники хорошие, но они устарели ».

Ответ банален, но интересно было продолжение, — в качестве примера лектор нарисовал Киселевский чертеж к признаку параллельности двух плоскостей. На этом чертеже плоскости резко изгибались для того, чтобы пересечься. И я подумал: «Действительно, какой нелепый чертеж! Нарисовано то, чего быть не может! » И вдруг отчетливо вспомнил подлинный чертеж и даже его положение на странице (внизу-слева) в учебнике, по которому учился почти сорок лет назад.

И почувствовал связанное с чертежем ощущение мускульного напряжения, — будто пытаюсь насильственно соединить две непересекающиеся плоскости. Сама-собой возникла из памяти четкая формулировка: «Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны — ...», а вслед за ней и все короткое доказательство «от противного». Я был потрясен. Оказывается, Киселев запечатлел в моем сознании этот осмысленный математический факт навечно.

Наконец, пример непревзойденного искусства Киселева сравнительно с современными авторами. Держу в руках учебник для 9-го класса «Алгебра-9», изданный в 1990 году. Автор — Ю.Н. Макарычев и К°, и между прочим, именно учебники Макарычева, а также Виленкина, приводил в качестве примера «недоброкачественных, безграмотно выполненных» Л.С. Понтрягин. Первые страницы: §1. «Функция. Область определения и область значений функции».

В заголовке указана цель — разъяснить ученику три взаимосвязанных математических понятия. Как же решается эта педагогическая задача? Вначале даются формальные определения, потом множество разношерстных абстрактных примеров, затем множество хаотичных упражнений, не имеющих рациональной педагогической цели. Налицо перегрузка и абстрактность. Изложение занимает семь страниц. Форма изложения, когда начинают с невесть откуда взявшихся «строгих» определений и затем «иллюстрируют» их примерами, трафаретна для современных научных монографий и статей.

Сравним изложение той же темы А.П. Киселевым (Алгебра, ч. 2. М.: Учпедгиз. 1957). Методика обратная . Начинается тема с двух примеров — бытового и геометрического, эти примеры хорошо знакомы ученику. Примеры подаются так, что естественно приводят к понятиям переменной величины, аргумента и функции. После этого даются определения и еще 4 примера с очень краткими пояснениями, их цель — проверить понимание ученика, придать ему уверенности. Последние примеры тоже близки ученику, они взяты из геометрии и школьной физики.

Изложение занимает две страницы. Ни перегрузки, ни абстрактности! Пример «психологического изложения», по выражению Ф. Клейна. Показательно сравнение объемов книг. Учебник Макарычева для 9 класса содержит 223 страницы (без учета исторических сведений и ответов). Учебник Киселева содержит 224 страницы, но рассчитан на три года обучения — для 8-10 классов. Объем увеличился в три раза!

Сегодня очередные реформаторы стремятся уменьшить перегрузку и «гуманизировать» обучение, якобы заботясь о здоровье школьников. Слова, слова... На самом же деле, вместо того, чтобы сделать математику понятной, они уничтожают ее основное содержание.

Сначала, в семидесятых, «подняли теоретический уровень», подорвав психику детей, а теперь «опускают» этот уровень примитивным методом выбрасывания «ненужных» разделов (логарифмы, геометрия...) и сокращением учебных часов.

«Я счастлив, что дожил до дней, когда математика стала достоянием широчайших масс. Разве можно сравнить мизерные тиражи дореволюционного времени с нынешними. Да и не удивительно. Ведь сейчас учится вся страна. Я рад, что и на старости лет могу быть полезным своей великой Родине », — А.П. Киселёв ,